Transformações                                    relativistas

Autores

Ana Luísa Grilo Pinho,nº48146
Clara Ambar de Gusmão Fiúza,nº48149
Hugo Sérgio Monteiro Alves,nº46733
Paulo Alexandre Marreiros Duarte,nº48177

RESUMO

O trabalho realizado consta numa breve introdução a alguns conceitos básicos da Relatividade Restrita de Einstein e à álgebra de transformações de Lorentz, seguido da resolução de dois paradoxos. Um consiste numa barra que se desloca horizontalmente cujo comprimento próprio é igual ao diâmetro de um donut que se desloca verticalmente e, no instante t = t' = 0 os seus centros geométricos cruzam-se. O outro trata-se do célebre paradoxo de uma lança a entrar num hangar.

TEORIA E MÉTODO DE IMPLEMENTAÇÃO

Teoria

  Em primeiro lugar é conveniente definir a ideia de referencial de inércia,  a qual foi  fundamental tanto para a Mecânica Clássica como para a Relatividade Restrita.
  Um referencial de inércia é aquele em que todas as partículas livres ( ou seja, não sao actuadas por forças ou então são actuadas por um sistema de resultante nula) têm velocidade constante (i.e., aceleração nula). Pode-se dizer que o "verdadeiro" referencial de inércia ( o referencial absoluto) é uma abstracção que não existe; o que  existe são regiões relativamente isoladas onde as acelerações podem ser desprezadas, sendo os referenciais ligados a essas regiões aproximadamente referencias de inércia.
Da Mecânica Clássica podem-se salientar dois aspectos:  todas as leis da Mecânica ( em geral ) têm a mesma forma em todos os referenciais de inércia; existe relatividade no espaço mas o tempo é absoluto e as distâncias espaciais são invariantes.
  Porém apareceram umas quantas "dificuldades" que puseram em causa os postulados da Mecânica Clássica, tais  como o facto das leis do Electromagnetismo não ficarem invariantes na mudança de um referncial de inércia para outro e também pelo resultado da experiência de Michelson-Moreley de que a velocidade da luz não obedece à lei da adição das velocidades ( se fosse a velocidade de um referencial S em relação a um referencial S' que se movesse a velocidade, a sua velocidade seria + mas tal nao se verificava, pois continuava  a ser ).
  Perante isto apareceram diversas explicações ( hoje afastadas como sendo incompletas e complicadas )  até que em 1905, Einstein propôs uma nova Física assente em dois postulados básicos:  as leis da Física são as mesmas em todos os referenciais de inércia ( ou seja, o princípio da relatividade é válido quer para a Mecânica quer para o Electromagnetismo ) e a velocidade da luz no vácuo é constante independentemente da velocidade do observador e da fonte ( ). Assim modificou-se a transformação de Galileu mas supôs-se que a nova transformação era ainda linear (pois a lei da inércia é um dos princípios fundamentais da Mecânica Clássica e Einstein mantém-na na Relatividade Restrita) e considera-se que um movimento rectilíneo uniforme relativamente ao referencial de inércia S também o seja relativamente a S'.

  A lei de transformação de coordenadas entre dois referenciais de inércia S e S' no caso da Relatividade Restrita ( a denominada transformaçao de Lorentz  ) é dada pelas seguintes equações:

x' =                             x =

y' = y                                        y = y'

z' = z                                         z = z'

  t' =                              t =   

(  é de salientar que as transformações perdem o significado para v>=c, o que é corroborado pela experiência)

  Se considerarmos uma barra rígida AB fixa em S' paralela ao eixo O'x', temos que   

                 ( - = ( - )  
    ou seja           
                                           Δl = Δl'           que traduz a contracção de Lorentz ( contracção do espaço).
                                           
   Por outro lado, considere-se um relógio fixo em S'. Tem-se que     
  
                  ( - =               
    ou seja
                    Δt =                                       que traduz a dilatação de Einstein ( dilatação do tempo).                                        
  

  Quanto às velocidades :

d x =                             dy = dy'                                dz = dz'                                                                                           dt =

Daqui obtemos:

=                                                      =

=                                       =

   =                                       =
  

  Verifica-se também que
  


  Esta expressão veio a revelar que o conjunto dos acontecimentos forma um espaço quadridimensional, o qual é hoje conhecido por espaço-tempo ( ou Universo de Minkowski ) e a designa-se por intervalo do Universo.

O cone de luz

  Um sinal luminoso que se propaga no espaço do referencial S a partir de certo ponto descreve um cone quadridimensional ao qual se chama cone de luz. Este existe no espaço-tempo independentemente do referencial. Como nada se propaga mais depressa do que a luz, o cone divide o espaço-tempo  em três regiões:

Método de implementação

Lorentz é uma função cujo argumento é v ( velocidade de um referencial relativamente ao outro) a qual retorna a matriz que transforma o vector {x,y,z,τ} num referencial no vector {x',y',z',τ'} correspondente no outro referencial. Alternativamente, a mesma matriz pode transformar o vector das energias e momentos correspondentes a um referencial no vector

comprimento[ l, v] é a função que determina um comprimento l' num referencial em função do comprimento l no outro referencial.
é a uma função para ser utilizada com os seguintes argumentos [,v], em que é o vector {} das componentes da velocidade no primeiro referencial.

Exemplos   

O paradoxo da  barra e do "donut"
   Uma barra de 1 metro desliza no eixo dos xx ( referencial do laboratório ), aproximando-se da origem com velocidade v =0.9c, enquanto um donut cujo furo tem 1 metro de diâmetro se desloca paralelamente ao plano xz com velocidade u' = 0.9c.
    O centro da barra encontra-se na origem do sistema do laboratório no mesmo instante (medido no mesmo sistema ) em que o donut ascendente se encontra à cota y=0.
    Sob uma análise "empírica":
     -referencial do laboratório: a lança sofre uma contracção de Lorentz e passa facilmente belo buraco do donut. Não há colisões.
     -referencial da barra: o donut sofre uma contracção de Lorentz ( a lança está em repouso, não sofre nenhuma contracção). Assim a barra, com todo o seu comprimento, não passa através do donut. Há colisão!
   
    

Resolução:
  

                referencial do" donut"
          já sabemos que no instante em que o donut cruza o eixo dos xx o centro da barra se encontra na origem: vamos achar o comprimento da barra
  

          referencial da barra
   com a função lorentz vamos achar as coordenadas dos extremos da barra correspondentes , tendo em conta que v = 0.9c para mudar o sinal de v na matriz Lorentz e com a dunção

No referencial da barra iremos ter o tempo t

φ  é a função que acha o ângulo que o donut faz com a horizontal e cujos argumentos são a velocidade do donut no seu referencial e a velocidade relativa entre os 2 referenciais

O paradoxo da lança e do palheiro
Considere-se uma lança de 20 metros de comprimento transportada rapidamente na direcção que lhe é paralela de maneira que ela não pareça ter mais que 10 metros no referencial do laboratório.A dado momento podemos fazê-la entrar num palheiro de 10 metros de comprimento.
   Agora coloquemo-nos no referencial do homem que transporta a lança. Para ele o palheiro está contraído a metade do seu comprimento.
    Como é que a lança de 20 m pode entrar num palheiro de 5 m?

Em primeiro lugar vamos determinar a velocidade relativa entre os 2 referenciais que satisfaça a condição dos comprimentos dos objectos num referencial (que não seja o seu) serem metade dos seus comprimentos próprios.  

                referencial do palheiro
  como já foi referido no enunciado, a lança sofre uma contracção, ficando com 10 m de comprimento neste referencial, ou seja, a ponta da lança começa a sair do palheiro no mesmo instante ( no tempo deste referencial ) em que a outra extremidade da lança entra nele.
  Sejam os acontecimentos A ( em  que a ponta da lança chega ao fim do palheiro) e B ( em que a outra extremidade da lança entra no palheiro). Estes acontecimentos ocorrem no mesmo instante deste referencial.

                referencial do homem
    Neste referencial o palheiro sofre uma contracção de Lorentz e fica com 5 metros de comprimento, enquanto que a lança tem 20 m.
     No referencial do palheiro tem-se = 10 e = 0. Usando a transformação de Lorentz obtemos este intervalo de tempo no referencial próprio da lança:

Como se pode ver, A e B não são simultâneos neste referencial, ou seja, as duas extremidades da barra não "tocam" nas paredes do palheiro mesmo instante!

CONCLUSÕES

   Ao resolver os paradoxos à luz da Relatividade Restrita damo-nos conta de que o modo como  "a acção se desenrola" não é de todo previsível a mentes habituadas a pensar segundo a Mecânica Clássica.
   Ao debruçarmo-nos sobre um problema sob o ponto de vista da Relatividade, há que ter presente não só a ideia da contracção do espaço mas também a da não simultaneidade dos acontecimentos, facto este que foi bem salientado no exemplo da lança e do palheiro.
   A visualização do
   Podemos dizer que a operação de passagem ao limite não se pode transferir "inocentemente" da matemática para a física: não faz sentido tender para infinito a velocidade de um corpo ou de um sinal, no nosso universo a velocidade da luz é a velocidade limite.

REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA

Taylor, E. F.; Wheeler, J.A., A la découverte de l'espace temps et de la physique relativiste, Dunod, Paris, 1970

Rodrigues, J. M. R., Introdução à teoria da relatividade restrita, IST Press, Lisboa, 1998

Noronha, A., Brogueira, P., Exercícios de Física, McGraw-Hill, Amadora, 1994

Deus, J. D., et alii, Introdução à Física, McGraw-Hill, Portugal, 1992