Enumeramos de seguida algumas das propriedades das transformações conformes:
Se é conforme e bijectiva, então também é conforme.
Se e são conformes e bijectivas, então é igualmente conforme e bijectiva.
Se é uma função harmónica numa região e se é analítica então a função é harmónica em.
Estas propriedades são importantes para que seja possível usar transformações conformes nas aplicações.
O teorema de mapping de Riemann afirma o seguinte:
Se é uma região simplesmente conexa tal que então existe uma transformação conforme bijectiva , onde . Para além disso, para cada , é possível encontrar um tal que e . Este é único.
Este resultado permite-nos saber que é sempre possível encontrar uma transformação conforme entre quaisquer duas regiões simplesmente conexas diferentes de .
Um outro resultado a ter em conta é que para calcularmos a transformada de uma dada região simplesmente conexa, basta verificar a sua fronteira e a transformada de um ponto do seu interior. A imagem dessa região será a zona do plano (dividido em dois pela imagem da fronteira) onde a imagem do ponto se encontra.
Em cada ponto a velocidade é tangente às linhas de e normal às linhas de .
É possível calcular o potencial nos pontos de uma região aplicando a transformação às coordenadas para uma região onde se conheça a solução e então calcular aí o potencial. Podemos assim calcular o potencial na região usando a transformação de onde o potencial é dado por fazendo .
A transformação desejada é:
Podemos verificar que esta realiza a transformação entre as regiões desejadas calculando a transformada na fronteira e verificando um ponto do interior. Verifica-se.Se escolhermos para função de potencial:
(Verifica-se que esta função respeita as condições
necessárias.)
A transformação inversa desejada é:
(Esta é a transformaç~ao de Joukowski)
Podemos verificar que esta realiza a transformação entre as regiões desejadas calculando a transformada na fronteira e verificando um ponto do interior.
Procuremos a transformação da região em estudo para o exterior do círculo.
Como obtemos duas soluções resta descobrir qual importa estudar. Para tal avaliamos ambas e, escolhemos a que fica fora da região. A função de potencial em torno de um círculo de raio r com o centro na origem e em que a velocidade do fluido é segundo a horizontal é Se usarmos a mudança de coordendas seguinte temos potêncial em torno de um círculo com centro em z0 e em que a velocidade do fluido tem o ângulo Logo a função que dará o potencial na região H é: Para evitar que a velocidade seja infinita na singularidade é preciso impor que ai a circulação seja zero obtendo-se para a circulação: Em que o corresponde ao parâmetro da circunferência correspondente ao ponto em causa, ou seja Criamos assim as novas funções com o já substituido Uma possível representação do comportamento do fluido, em que se mostram linhas equipotências da parte real e imaginária do potêncial é: Como podemos observar existem alguns problemas segundo uma linha. Tal deve-se provavelmente ao logaritmo. Uma forma alternativa de gerar esta representação é fazer o cálculo do potencial em cada ponto em torno do círculo e fazer apenas a transformação das coordenadas desse ponto. Assim evitamos o uso do inverso desta transformação.Uma possível representação do comportamento do fluido, em que se mostram linhas equipotências da parte real e imaginária do potêncial é:
Fluid Mechanics, Joseph H. Spurk, Springer, 1997
Elementary Fluid Dynamics, D. J. Acheson, Claredon Press, 1990