8ª Aula Prática de TFCOMP-II
Comecem por criar e guardar em disco um Notebook com o nome TFC8_grupo.nb,
onde 'grupo' é o nome do vosso grupo de trabalho.
Neste Notebook criem uma célula de título identificando
os elementos constituintes do grupo (nome, número e contactos).
Problema 1
Usando os nomes de dois elementos do seu grupo, crie duas
imagens com letras do tipo
e transforme-as em duas matrizes quadradas de números reais (use
as funcionalidades de
e/ou ).
Usando
e ,
represente com
ou
o efeito nas imagens de alterar a fase ou amplitude dos respectivos coeficientes
de Fourier. Observe também a convolução e a correlação
destas imagens uma com a outra. Que conclusões tira sobre a fase
e a amplitude dos coeficientes de Fourier?
Problema 2
Determine a solução da equação
de difusão
com a condição inicial
se
e zero fora deste intervalo. Faça uma animação mostrando
a evolução da solução para .
Solução 2
Solução usando transformadas de Fourier
Para a solução deste problema veja o documento
incluído na página da cadeira sob o título "Equações
de Difusão e Fourier"
Condição inicial e sua transformada.
Transformada da Equação de Fourier (atenção
ao :
sem ele o resultado é errado)
A solução obtém-se pela transformada inversa de
quando se substitui
pela transformada da condição inicial.
Solução por convolução com o "Heat Kernel"
da condição inicial
Problema 3
Uma corda de guitarra está presa em
e .
Sugira condições iniciais
e
e, usando transformadas de Fourier e/ou de Laplace, resolva a equação
de ondas ,
onde ,
a tensão na corda e
a sua densidade linear de massa. Mostre a evolução da solução
numa animação e use a função
para ouvir o som gerado pela corda, e compare a intensidade do tom fundamental
com os das harmónicas seguintes .
Solução 3
A solução geral de uma equação
do tipo
é ,
onde e
são funções arbitrárias, representando perfis
que se deslocam para a direita e a esquerda com velocidade .
De facto:
Quando se especificam condições iniciais, restringe-se
a forma de
e .
Vemos assim que a solução que verifica as condições
iniciais é, àparte as constantes,
Frequentemente, as condições iniciais indicam
que a corda deformada parte do repouso, i.e. .
Neste caso
e .
No caso contrário a corda parte do equilíbrio
com velocidade inicial dada por ,
e então ,
onde .
Para além de condições iniciais pede-se
ainda que se verifiquem condições fronteira, i.e.
no caso
e .
Vamos considerar o caso de .
O método das imagens permite visualizar de forma simples
a solução pretendida. Consideremos uma solução
que é a sobreposição de três destas formas de
onda: para , ,
onde
. Esta forma propaga-se para a esquerda como
e para a direita como ,
e para garantir que
é necessário adicionar à esquerda uma solução
partindo de
para ,
e à direita para ,
. Estas condições iniciais para segmentos virtuais da corda
são imagens virtuais, com focos em
e ,
da forma inicial da corda no intervalo .
Vamos exemplificar
com
e .
Infelizmente esta não é a solução
final porque, embora se verifiquem as condições fronteira,
apenas se observam duas reflexões. Para se observar
um movimento periódico tem que se estender a definição
de
da seguinte forma
Obtemos assim uma condição inicial periódica
de período
sobre toda a recta ,
e s sua evolução temporal como solução da equação
da corda vibrante dá-nos a solução pretendida no intervalo
A seguinte animação mostra como
e .
Olhemos agora para o movimento de um ponto fixo da corda.
O som gerado pela corda tem mais a ver com este movimento temporal do que
com a forma espacial da corda (o som corresponde a uma oscilação
longitudinal do ar, enquanto a deformação da corda
é transversal). Para ouvir um som tem que existir uma
oscilação de frequência .
Quando
é conhecido, podemos estimar que para
formas iniciais muito simples.
Compare este com
um tom puro de :
Problema 4
A evolução de uma partícula num potencial
é descrita em mecânica quântica por uma equação
do tipo .
Usando transformadas de Fourier mostre que, para a partícula livre
()
esta equação é fácilmente resolúvel
e construa o propagador
usando uma discretização adequada para uma forma de onda
inicial arbitrária .
Represente a sua evolução temporal gráficamente.
Converted by Mathematica
June 22, 2001