Os algoritmos que implementam a transformada rápida de Fourier assumem que a função a transformar está definida e amostrada num intervalo , com valores onde para . Daí que, para amostrar e transformar uma função numa janela de largura seja necessário transladar toda a função por , e efectivamente definir uma nova função
No Mathematica, a Transformada de Fourier discreta de uma lista de pontos é a lista onde
Se pusemos , , então
Designando por os pontos no intervalo ÷x, podemos reescrever
Assim conclui-se que
Estes coeficientes diferem em sinal alterno dos provenientes de implementações C de FFT, onde o primeiro elemento duma lista tem índice 0.
Convém ainda indicar que, de acordo com as normas da FFT,
-- o primeiro coeficiente corresponde á frequência ('número de onda') .
-- os primeiros coeficientes correspondem às frequências positivas ,
-- o coeficiente corresponde ao ponto de 'aliasing'
-- e os últimos vão das frequências mais negativas para as menos negativas .
É assim desejável definir um operador que produza uma lista ordenada crescentemente com a frequência: o índice aqui corresponde portanto a uma frequência . Note-se ainda que é uma frequência, e não uma frequência angular .
Assim, o resultado de não é directamente a transformada de Fourier da discretização, é necessário inverter o sinal dos coeficientes de dois em dois para obter e depois rearranjar com para obter os verdadeiros coeficientes! Contudo, para inverter com deve-se usar o formato de .