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Coordenadas Esféricas $ξ_{k} \in {r, θ, φ}$

Um sistema de coordenadas ortogonais curvilíneas Esféricas consiste na definição de três parâmetros ${r, θ, φ}$ únicos para cada ponto $\vec{r} \in R^{3}$ , ou seja duma correspondência bijectiva $\vec{r} = Λ^{− 1} (r, θ, φ)$ (de facto será necessário definir várias e por partes i.e. um Atlas) com $r \in [0, + \infty [, θ \in [0, π], φ \in [0, 2 π]$ , de tal maneira que as curvas obtidas pela fixação de qualquer par de parâmetros $r_{o}, θ_{o}, φ_{o}$ , ou seja,

$u (r) = Λ^{− 1} (r, θ_{o}, φ_{o})$ (semi-recta passando pela origem com azimute $φ_{o}$ e inclinação $θ_{o}$ )
$v (θ) = Λ^{− 1} (r_{o}, θ, φ_{o})$ (semi-círculo vertical com centro na origem, de raio $r_{o}$ e azimute $φ_{o})$
$w (φ) = Λ^{− 1} (r_{o}, θ_{o}, φ)$ (circulo horizontal de raio $ρ = r_{o} sin(θ_{o})$ centrado no eixo dos $zz$ à altura $z_{o} = r_{o} cos (θ_{o}))$

se intersectem em ${\vec{r}}_{o} = Λ^{− 1} (r_{o}, θ_{o}, φ_{o}) = u (r_{o}) = v (θ_{o}) = w (φ_{o})$ e sejam ortogonais entre si, qualquer que seja o ponto ${\vec{r}}_{o}$ escolhido.
Ao triedro de vectores de módulo unitário ${{\vec{e}}_{r}, {\vec{e}}_{θ}, {\vec{e}}_{φ}}$ que representam no ponto ${\vec{r}}_{o}$ as direcções tangentes a cada uma das curvas $u (r), v (θ), w (φ)$ designamos por referencial móvel associado ao sistema de coordenadas curvilíneas indicado.

MathReader Applet: Coordenadas Esféricas

Vector Posição no referencial associado:

$\vec{r} = r {\vec{e}}_{r} (θ, φ)$

Relação com coordenadas cartesianas

${\begin{cases} r \in [0, \infty [ \\ θ \in [0, π] \\ φ \in [0, 2 π [ \end{cases} \begin{array}{l} \overset{Λ^{− 1}}{\to} {\begin{cases} x = r \cos (φ) \sin (θ) \\ y = r \sin (φ) \sin (θ) \\ z = r \cos (θ) \end{cases} \end{array}$

$\vec{r} = r (\sin (θ) (\cos (φ) {\vec{e}}_{x} + \sin (φ) {\vec{e}}_{y}) + \cos (θ) {\vec{e}}_{z})$

Versores do referencial associado:

${\vec{e}}_{r} (θ, φ) = \sin (θ) (\cos (φ) {\vec{e}}_{x} + \sin (φ) {\vec{e}}_{y}) + \cos (θ) {\vec{e}}_{z} = \sin (θ) {\vec{e}}_{ρ} (φ) + \cos (θ) {\vec{e}}_{z}$

${\vec{e}}_{θ} (θ, φ) = \cos (θ) (\cos (φ) {\vec{e}}_{x} + \sin (φ) {\vec{e}}_{y}) − \sin (θ) {\vec{e}}_{z} = \cos (θ) {\vec{e}}_{ρ} (φ) − \sin (θ) {\vec{e}}_{z}$

${\vec{e}}_{φ} (φ) = − \sin (φ) {\vec{e}}_{x} + \cos (φ) {\vec{e}}_{y}$

Funções de Escala:

$η_{k} = | \frac{\partial \vec{r}}{\partial ξ_{k}} | \to {\begin{cases} η_{r} = 1 \\ η_{θ} = r \\ η_{φ} = r \sin (θ) \end{cases}$

Elemento de Linha:

$ⅆ \vec{r} = ⅆ r {\vec{e}}_{r} + r ⅆ θ {\vec{e}}_{θ} + r \sin (θ) ⅆ φ {\vec{e}}_{φ}$

Note que em geral

$δ \vec{r} = \vec{r} (r + δr, θ + δ θ, φ + δ φ) − \vec{r} (r, θ, φ) \neq δ r {\vec{e}}_{r} + r δ θ {\vec{e}}_{θ} + r \sin (θ) δ φ {\vec{e}}_{φ}$

Apenas no limite $δ r \toⅆ r, δ θ \toⅆ θ, δ φ \toⅆ φ$ as duas expressões coincidem.

Elementos de Áreas coordenadas elementares:

$ⅆ \vec{S} (θ, φ) = (η_{θ} ⅆ θ {\vec{e}}_{θ}) \times (η_{φ} ⅆ φ {\vec{e}}_{φ}) = r^{2} \sin (θ) ⅆ θ ⅆ φ {\vec{e}}_{r}$

$ⅆ \vec{S} (r, θ) = (η_{r} ⅆ r {\vec{e}}_{r}) \times (η_{θ} ⅆ θ {\vec{e}}_{θ}) = r ⅆ r ⅆ θ {\vec{e}}_{φ}$

$ⅆ \vec{S} (φ, r) = (η_{φ} ⅆ φ {\vec{e}}_{φ}) \times (η_{r} ⅆ r {\vec{e}}_{r}) = r \sin (θ) ⅆ φ ⅆ r {\vec{e}}_{θ}$

Elemento de Volume:

$ⅆ V (r, θ, φ) = r^{2} \sin (θ) ⅆ r ⅆ θ ⅆ φ$

O segmento de volume esférico $Δ V (\vec{r})$ compreendido entre os raios $[r, r + δ r]$ , as inclinações $[θ, θ + δ θ]$ e os azimutes $[φ, φ + δ φ]$ mede

$Δ V (\vec{r}) = \int_{θ}^{θ + δθ} (\int_{φ}^{φ + δφ} (\int_{r}^{r + δr} r^{2} \sin (θ) ⅆ r) ⅆ φ) ⅆ θ = \frac{1}{3} ({(r + δr)}^{3} − r^{3}) (\cos (θ) − \cos (δθ + θ)) δφ$

No limite infinitesimalmente pequeno $Δ V (\vec{r})$ pode mostrar-se equivalente ao volume paralelipipédico definido por $ⅆ \vec{r} = ⅆ r {\vec{e}}_{r} + r ⅆ θ {\vec{e}}_{θ} + r \sin (θ) ⅆ φ {\vec{e}}_{φ}$ no referencial móvel associado. Expandindo $\cos (θ+δθ)=cos(θ)-sin(θ)δθ +O(δ^{θ 2}$ verifica-se

$Δ V (\vec{r}) ≃ r^{2} \sin (θ) δ r δ θ δ φ + \frac{1}{2} r^{2} \cos (θ) δ r δ θ^{2} δ φ + r \sin (θ) δ r^{2} δ θ δ φ + O (δ^{5})$

Quando $δ r ⟶ ⅆ r, δ θ ⟶ ⅆ θ, δ φ ⟶ ⅆ φ$ retemos apenas o termo de mais baixa ordem em produtos de infinitésimos, i.e. $r^{2} sin(θ)ⅆ r ⅆ θ ⅆφ$ .

Gradiente:

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} {\vec{e}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} {\vec{e}}_{θ} + \frac{1}{r \sin (θ)} \frac{\partial f}{\partial φ} {\vec{e}}_{φ}$

Divergencia:

$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial (r^{2} A_{r})}{\partial r} + \frac{1}{r \sin (θ)} \frac{\partial (\sin (θ) A_{θ})}{\partial θ} + \frac{1}{r \sin (θ)} \frac{\partial A_{φ}}{\partial φ}$

Rotacional:

$\nabla \times \vec{A} = \frac{1}{r \sin (θ)} (\frac{\partial (\sin (θ) A_{φ})}{\partial θ} − \frac{\partial A_{θ}}{\partial φ}) {\vec{e}}_{r} + \frac{1}{r \sin (θ)} (\frac{\partial A_{r}}{\partial φ} − \frac{\partial (r \sin (θ) A_{φ})}{\partial r}) {\vec{e}}_{θ} + \frac{1}{r} (\frac{\partial (r A_{θ})}{\partial r} − \frac{\partial A_{r}}{\partial θ}) {\vec{e}}_{φ}$

Laplaciano:

$\nabla^{2} f = \frac{1}{r^{2} \sin (θ)} (\frac{\partial (r^{2} \sin (θ) \frac{\partial f}{\partial r})}{\partial r} + \frac{\partial (\sin (θ) \frac{\partial f}{\partial θ})}{\partial θ} + \frac{\partial (\frac{1}{\sin (θ)} \frac{\partial f}{\partial φ})}{\partial φ})$