Sistemas de Coordenadas

Coordenadas gerais curvilíneas

Um sistema de coordenadas numa região $\mathcal{M}$ dum espaço de dimensão $n$ é uma correspondência $\Lambda \mathcal{:\; M}\to {\mathbb{R}}^n$ que obedece a certas condições (vide o conceito de variedade e cartas locais). Esta correspondência $\Lambda \mathrm{(}P\mathrm{)}={\xi }_1{\overrightarrow{e}}_1+\; \dots \; +{\xi }_n{\overrightarrow{e}}_n$ define naturalmente famílias de $n$ curvas ${\gamma }_i$ passando por cada ponto $P\in \mathcal{M}$ e definidas como a imagem inversa através de ${\Lambda }^{\mathrm{-}1}$ de linhas coordenadas de ${\mathbb{R}}^n$ passando por $\Lambda \mathrm{(}P\mathrm{)}$.

Isto significa que ${\xi }_i$∈${ℐ}_i$⊂R é a i-ésima coordenada generalizada de $\mathcal{M}$. As curvas ${{\gamma }_i\left(s\right)}_P$ definem as linhas coordenadas passando por $P={{\gamma }_i\left(0\right)}_P$, i.e. ao longo de ${{\gamma }_i\left(s\right)}_P$ todas as coordenadas excepto a i-ésima são constantes, ${\xi }_{j\ne i}({{\gamma }_i\left(s\right)}_P)\; ={\xi }_j\mathrm{(}P\mathrm{)}$.

Quando $\mathcal{M}$ é um subconjunto do espaço afim ${\mathbb{R}}^n$, e designando por ${\overrightarrow{t}}_k\mathrm{(}P\mathrm{)}={\frac{d{{\gamma }_k\left(s\right)}_P}{ds}|}_{s=0}$ os vectores tangentes às curvas ${{\gamma }_k\left(s\right)}_P$ em $P$, podemos comparar os vectores tangentes ${\overrightarrow{t}}_i=\frac{d{\gamma }_i}{ds}$ às  curvas ${\gamma }_i(s)$ em pontos diferentes (caso contrário só se poderá fazê-lo quando uma conexão linear fôr definida sobre o espaço de referenciais de $\mathcal{M}$): se estes vectores forem paralelos entre si em todos os pontos de $\mathcal{M}$ para $i$ fixo, o sistema de coordenadas é rectilíneo, caso contrário é curvilíneo. Se em qualquer ponto $P\in \mathcal{M}$ se tiver ${\overrightarrow{t}}_i\mathrm{·}{\overrightarrow{t}}_j=\; 0$ para quaisquer $\mathrm{i\ne j}$, o sistema de coordenadas diz-se ortogonal e os versores ${\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}\mathrm{(}P\mathrm{)}=\frac{1}{\mathrm{|}{\overrightarrow{t}}_k\mathrm{|}}{\overrightarrow{t}}_k\mathrm{(}P\mathrm{)}$ definem uma base ortogonal do referencial móvel ${\mathcal{S}}_P$ associado às coordenadas generalizadas em $P$.

Deslocamento elementar e funções de escala

Para $\mathcal{M}$ um espaço afim o vector posição $\overrightarrow{r}$ de um ponto $P=O+\overrightarrow{r}$ pode-se escrever também neste referencial associado ${\mathcal{S}}_P$ como

$\overrightarrow{r}\mathrm{(}P\mathrm{)}=x^k\mathrm{(}{\xi }_1\mathrm{(}P\mathrm{)},\dots ,{\xi }_n\mathrm{(}P\mathrm{))}{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}\mathrm{(}P\mathrm{)}$

Um deslocamento elementar $d\overrightarrow{r}\left(P\right)$ visto do referencial associado ${\mathcal{S}}_P$ pode-se decompor em termos de deslocamentos elementares nas direcções dos versores ${\overrightarrow{e}}_k$ de base e então:

$d\overrightarrow{r}={\Lambda }^{\mathrm{-}1}(d\overrightarrow{\xi })=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial {\xi }_k}d{\xi }_k=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial {\xi }_k}\right|d{\xi }_k{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}={\eta }_{k}d{\xi }_k{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}$
onde ${\eta }_k=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial {\xi }_k}\right|$ se designam funções de escala.

Gradiente:

A partir da relação diferencial   $df\left(\overrightarrow{r}\right)=d\overrightarrow{r}·\nabla f\left(\overrightarrow{r}\right)$ obtém-se por substituição das respectivas expressões em coordenadas curvilíneas para $df$ e $d\overrightarrow{r}$

$\nabla f\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{{\eta }_k}\frac{\partial f}{\partial {\xi }_k}{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}$

Elemento de linha infinitesimal

Uma curva $\Gamma \hspace{0.17em}\subset \mathcal{M}$ fica definida em termos de um parâmetro $\lambda \hspace{0.17em}\in {\mathbb{R}}^2\to \overrightarrow{r}\mathrm{(\lambda )}$. Um elemento de linha pode-se escrever

$d\overrightarrow{r}\left(\lambda \right)=\frac{d\overrightarrow{r}}{d\lambda }d\lambda =\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial {\xi }_k}\frac{d{\xi }_k}{d\lambda }d\lambda =\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial {\xi }_k}\right|\frac{d{\xi }_k}{d\lambda }d\lambda {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}={\eta }_{k}d{\xi }_k{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}$

Elemento de área infinitesimal

Uma superfície $\mathcal{S\; \subset \; M}$ fica definida em termos de dois parâmetros $\mathcal{\{u,v\}}\in {\mathbb{R}}^2$, i.e. definindo a dependência explícita $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\mathrm{(}\mathcal{u},\mathcal{v}\mathrm{)}$ dos seus pontos. Um elemento de área de $S$ pode-se então escrever em magnitude $d\hspace{0.17em}S$ e direcção normal $\overrightarrow{n}$ como $d\overrightarrow{S}=\overrightarrow{n}d\hspace{0.17em}S$ onde

$d\overrightarrow{S}\mathrm{(}\mathcal{u},\mathcal{v}\mathrm{)}=d\mathcal{u}d\mathcal{v}\mathrm{\hspace{0.17em}}\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \mathcal{u}}\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \mathcal{v}}=d\mathcal{u}d\mathcal{v}\mathrm{\hspace{0.17em}}\frac{1}{2!}\sum _{\mathrm{ij}}{\eta }_i{\eta }_j\frac{\partial {\xi }_i}{\partial \mathcal{u}}\frac{\partial {\xi }_j}{\partial \mathcal{v}}\mathrm{\hspace{0.17em}}{\epsilon }^{\mathrm{ijk}}{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_i}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_j}$

ou seja através do produto vectorial de deslocamentos elementares $d\overrightarrow{r}\mathrm{(}\mathcal{u}\mathrm{)\; =}\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \mathcal{u}}d\mathcal{u}$ e $d\overrightarrow{r}\mathrm{(}\mathcal{v}\mathrm{)\; =}\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \mathcal{v}}d\mathcal{v}$ ao longo de linhas respectivamente a $\mathcal{v}$-constante e $\mathcal{u}$-constante sobre a superfície. Para $S\; \subset {\mathbb{R}}^3$ isto é

$d\overrightarrow{S}\mathrm{(}\mathcal{u},\mathcal{v}\mathrm{)}=d\mathcal{u}d\mathcal{v}\left({\eta }_1{\eta }_2{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_1}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_2}\left(\frac{\partial {\xi }_1}{\partial \mathcal{u}}\frac{\partial {\xi }_2}{\partial \mathcal{v}}\mathrm{-}\frac{\partial {\xi }_2}{\partial \mathcal{u}}\frac{\partial {\xi }_1}{\partial \mathcal{v}}\right)+{\eta }_2{\eta }_3{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_2}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_3}\left(\frac{\partial {\xi }_2}{\partial \mathcal{u}}\frac{\partial {\xi }_3}{\partial \mathcal{v}}\mathrm{-}\frac{\partial {\xi }_3}{\partial \mathcal{u}}\frac{\partial {\xi }_2}{\partial \mathcal{v}}\right)+{\eta }_3{\eta }_1{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_3}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_1}\left(\frac{\partial {\xi }_3}{\partial \mathcal{u}}\frac{\partial {\xi }_1}{\partial \mathcal{v}}\mathrm{-}\frac{\partial {\xi }_1}{\partial \mathcal{u}}\frac{\partial {\xi }_3}{\partial \mathcal{v}}\right)\right)$

Elemento de volume infinitesimal

Um elemento de volume $d{\mathcal{V}}_P$ fica análogamente definido em coordenadas curvilíneas como o produto vectorial de deslocamentos elementares ao longo das suas n curvas coordenadas ${{\gamma }_i\left(s\right)}_P$ a partir do ponto $P$.

$d\mathcal{V}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)\; =}\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial {\xi }_1}\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial {\xi }_2}\times \dots \times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial {\xi }_n}d{\xi }_{1}d{\xi }_2\dots d{\xi }_n={\eta }_1\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}{\eta }_2\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}{\mathrm{\dots \eta }}_n\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}d{\xi }_{1}d{\xi }_2\dots d{\xi }_n$

Divergência:

A partir da identidade integral ${∯\partial V}_{}\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{S}=\int \int {\int }_V\nabla ·\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}d\mathcal{V}$ e no limite $\mathcal{V}\to d\mathcal{V}={\eta }_1{\eta }_2{\eta }_3 d{\xi }_{1}d{\xi }_{2}d{\xi }_3$(e portanto $\mathrm{\partial <mi\; mathvariant="script">V</mi>\to \partial }d\mathcal{V}$) deduz-se a expressão

$$\nabla ·\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}=\underset{V\to dV}{\mathrm{limit}}(\frac{1}{V}{∯}_{\partial V}\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{S})$$

O fluxo de $\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}$através da fronteira do volume elementar $d\mathcal{V}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}$ envolve a diferença dos fluxos através de faces elementares paralelas e opostas separadas de ${\eta }_{i}d{\xi }_i$. Numa situação geral, se $d\overrightarrow{S}(\overrightarrow{r}$) e $d\overrightarrow{S}(\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}$) representarem elementos de superfície paralelas, separadas por $d\overrightarrow{r}$ e orientadas no mesmo sentido, e se pusermos $d{\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}}_{+}=\; -d\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}$ e $d{\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}}_{+}=d\overrightarrow{S}(\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}$ para as faces orientadas em sentido opostos, teremos que o fluxo de $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}\mathrm{)}$ através destas duas faces assim orientadas é

$\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d{\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}}_{+}+\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d{\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}}_{+}=\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}\mathrm{-}\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}=d\overrightarrow{r}·\nabla \left(\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}\right)$

No caso de um volume elementar $d\mathcal{V}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}$ as suas faces são paralelas ou anti-paralelas a elementos de área

$d\overrightarrow{S}\mathrm{(}{\xi }_r,{\xi }_s\mathrm{)}=\frac{1}{2!}d{\xi }_{r}d{\xi }_s{\displaystyle \sum _{\mathrm{ij}}}{\eta }_i{\eta }_j{\delta }_i^r{\delta }_j^s{ϵ}^{\mathrm{ijk}}{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_i}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_j}={\eta }_r{\eta }_{s}d{\xi }_{r}d{\xi }_s{ϵ}^{\mathrm{rsk}}{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_r}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_s}$

pelo que ${{\displaystyle ∯}}_{\partial V}\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{S}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)\; =}{\displaystyle \sum }_{k}d{\xi }_{k}d{\xi }_{r}d{\xi }_s{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{(}{\eta }_r{\eta }_s{A}_k\mathrm{)}}{\partial {\xi }_k}}$.

$$\nabla ·\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}=\frac{1}{{\eta }_1{\eta }_2{\eta }_3}\left(\frac{\partial \mathrm{(}{\eta }_2\mathrm{}{\eta }_3{A}_1)}{\partial {\xi }_1}+\frac{\partial \mathrm{(}{\eta }_1{\eta }_3{A}_2)}{\partial {\xi }_2}+\frac{\partial \mathrm{(}{\eta }_1{\eta }_2{A}_3\mathrm{)}}{\partial {\xi }_3}\right)=\frac{1}{3!}{\displaystyle \sum _{\mathrm{ijk}}}\frac{{ϵ}^{\mathrm{kji}}{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_j}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_i}}{{\eta }_i{\eta }_j{\eta }_k}\frac{\partial \left({\eta }_j{\eta }_i{A}_k\right)}{\partial {\xi }_k}$$

Rotacional:

A partir da identidade integral ${\displaystyle {\oint }_{\partial S}}\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{r}={\displaystyle \int {\int }_S}\nabla \times \overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{S}$ e no limite $S\to \overrightarrow{dS}$ e simultâneamente $\partial <mi>S</mi>\to P$, deduz-se que

$$\overrightarrow{n}·\left(\nabla \times \overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}\right)\text{=}\underset{S\to \mathrm{d}S}{\mathrm{limit}}(\frac{1}{S}{\oint }_{\partial S}\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{l})$$

onde $d\overrightarrow{S}=\overrightarrow{n}dS$. Como se pode sempre decompor uma circulação num circuito arbitrário em termos de circuitos rectangulares, se $d\overrightarrow{l}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}$ e $d\overrightarrow{l}\mathrm{(}\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}$ representarem elementos de linha paralelos e separados por $d\overrightarrow{r}$, a circulação em sentidos opostos de $\overrightarrow{A}$ nestes elementos soma

$\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{l}\mathrm{(}\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}\mathrm{)}\mathrm{-}\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{l}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}=d\overrightarrow{r}·\nabla \mathrm{(}\overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}·d\overrightarrow{l}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}\mathrm{)}$

Fazendo ${\overrightarrow{n}}_k={ϵ}_{..\mathrm{k}}^{\mathrm{ij}}{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_i}\times {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_j}=\pm {\overrightarrow{e}}_{{\xi }_k}$ a normal e $d{\overrightarrow{l}}_i={\eta }_{i}d{\xi }_i{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_i},d{\overrightarrow{l}}_j={\eta }_{j}d{\xi }_j{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_j}$ os lados da superfície elementar $d{\overrightarrow{S}}_k={\eta }_i{\eta }_{j}d{\xi }_{i}d{\xi }_j{\overrightarrow{n}}_k$ que lhe corresponde, teremos em consequência

$$\nabla \times \overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r})\; =\frac{1}{{\eta }_2{\eta }_3}\left(\frac{\partial \left({\eta }_3{A}_3\right)}{\partial {\xi }_2}\mathrm{-}\frac{\partial \left({\eta }_2{A}_2\right)}{\partial {\xi }_3}\right){\overrightarrow{e}}_{{\xi }_1}\mathrm{+}\frac{1}{{\eta }_1{\eta }_3}\left(\frac{\partial \left({\eta }_1{A}_1\right)}{\partial {\xi }_3}\mathrm{-}\frac{\partial \left({\eta }_3{A}_3\right)}{\partial {\xi }_1}\right){\overrightarrow{e}}_{{\xi }_2}\mathrm{+}\frac{1}{{\eta }_1{\eta }_2}\left(\frac{\partial \left({\eta }_1{A}_1\right)}{\partial {\xi }_2}\mathrm{-}\frac{\partial \left({\eta }_2{A}_2\right)}{\partial {\xi }_1}\right){\overrightarrow{e}}_{{\xi }_3}={\displaystyle \sum _{\mathrm{ikj}}\frac{{ϵ}^{\mathrm{ikj}}}{{\eta }_i{\eta }_k}\frac{\partial \left({\eta }_k{A}_k\right)}{\partial {\xi }_i}{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_j}}$$

Em 3 dimensões é possível  escrever simbólicamente esta operação como

$$\nabla \times \overrightarrow{A}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}=\frac{1}{{\eta }_1{\eta }_2{\eta }_3}\det \left(\begin{array}{ccc}{\eta }_1{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_1}& {\eta }_2{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_2}& {\eta }_3{\overrightarrow{e}}_{{\xi }_3}\\ \frac{\partial }{\partial {\xi }_1}& \frac{\partial }{\partial {\xi }_2}& \frac{\partial }{\partial {\xi }_3}\\ {\eta }_1{A}_1& {\eta }_2{A}_2& {\eta }_3{A}_3\end{array}\right)$$

Laplaciano

Combinando a divergência e o gradiente podemos escrever o laplaciano como ${\nabla }^{2}f=\; \nabla ·(\nabla f)$

$${\nabla }^{2}f=\frac{1}{{\eta }_1{\eta }_2{\eta }_3}\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }_1}\left(\frac{{\eta }_2{\eta }_3}{{\eta }_1}\frac{\partial f}{\partial {\xi }_1}\right)+\frac{\partial }{\partial {\xi }_2}\left(\frac{{\eta }_1{\eta }_3}{{\eta }_2}\frac{\partial f}{\partial {\xi }_2}\right)+\frac{\partial }{\partial {\xi }_3}\left(\frac{{\eta }_1{\eta }_2}{{\eta }_3}\frac{\partial f}{\partial {\xi }_3}\right)\right)=\frac{1}{3!}\sum _{\mathrm{ijk}}\frac{1}{{\eta }_i{\eta }_j{\eta }_k}\frac{\partial }{\partial {\xi }_k}\left(\frac{{\eta }_j{\eta }_i}{{\eta }_k}\frac{\partial f}{\partial {\xi }_k}\right)$$

© Amaro Rica da Silva, Prof. Dep. Física-IST with Mathematica  (September 20, 2005)