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Produto Vectorial Triplo: $\vec{a}$ ×( $\vec{b}$ × $\vec{c}$ )

O produto vectorial triplo verifica a seguinte identidade:

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} − (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$

Demonstração

$\vec{a}$ ×( $\vec{b}$ × $\vec{c}$ ) é perpendicular a $\vec{a}$ e portanto, se $\vec{b}$ e $\vec{c}$ não forem colineares, existem escalares $α, β$ tais que

$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})) = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{a} \times \vec{a}) \equiv 0 ∴ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = α \vec{b} + β \vec{c}$

$\vec{a} \cdot (α \vec{b} + β \vec{c}) \equiv 0 = α (\vec{a} \cdot \vec{b}) + β (\vec{a} \cdot \vec{c}) ∴ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = λ ((\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} − (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c})$

λ não depende de ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ ) porque, para arbitrário $\vec{d}$ ,

$\vec{d} \cdot (\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})) = λ ((\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) − (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{c} \cdot \vec{d})) = \vec{a} \cdot (\vec{d} \times (\vec{c} \times \vec{b})) = λ^{'} ((\vec{d} \cdot \vec{b}) (\vec{a} \cdot \vec{c}) − (\vec{d} \cdot \vec{c}) (\vec{a} \cdot \vec{b})) ∴ λ \equiv λ^{'}$

Usando $\vec{a}$ = $\vec{b}$ = ${\vec{e}}_{x}$ , $\vec{c}$ = ${\vec{e}}_{y}$ obtém-se

${\vec{e}}_{x} \times ({\vec{e}}_{x} \times {\vec{e}}_{y}) = − λ {\vec{e}}_{y} = {\vec{e}}_{x} \times {\vec{e}}_{z} = − {\vec{e}}_{y} ∴ λ \equiv 1$