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Produto Misto: $\vec{d}$ ·( $\vec{a}$ × $\vec{b}$ )

O produto misto de três vectores é um escalar (i.e. um número) que representa o volume V do paralelipípedo com arestas paralelas aos vectores intervenientes no produto. ( O paralelipípedo formado pelos vectores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{d}$ tem volume V = (área da base)×(altura).)
Como a base pode ser formada por qualquer par de vectores, este volume pode ser determinado de três maneiras:

$\vec{d} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = \vec{b} \cdot (\vec{d} \times \vec{a})$

Isto é também evidente a partir da representação

$\vec{d} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \det (\begin{matrix} d_{x} & d_{y} & d_{z} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix}) = (a_{y} b_{z} − a_{z} b_{y}) d_{x} + (a_{z} b_{x} − a_{x} b_{z}) d_{y} + (a_{x} b_{y} − a_{y} b_{x}) d_{z}$

uma vez que o determinante de uma matriz não muda com rotações cíclicas das suas linhas.

Produto Misto

Use Shift-Drag para Zoom; Use Left-Drag para rodar; Use Double-Click para Iniciar/Parar Animações quando disponíveis. Pontos (e vectores) selectionáveis mostram um quadrado quando apontados pelo cursor, e podem então ser movidos com Left-Drag.