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Produto Vectorial: $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$

O produto vectorial (ou exterior) de vectores $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ é outro vector $\overset{⇀}{c}$ com direcção ortogonal a ambos $\overset{⇀}{a}$ e $\overset{⇀}{b}$ , e cuja magnitude representa a área do paralelogramo de lados paralelos a estes. ( O paralelogramo formado por dois vectores $\overset{⇀}{a}$ e $\overset{⇀}{b}$ tem área A = (comprimento base)×(altura) )
A regra comum de colocar o polegar da mão direita na direcção do primeiro vector $\overset{⇀}{a}$ e o dedo indicador na direcção do segundo $\overset{⇀}{b}$ indica o sentido do produto $\overset{⇀}{c}$ pela direcção do dedo médio.

$\overset{⇀}{c}$ = $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ =| $\overset{⇀}{a}$ || $\overset{⇀}{b}$ | ${\overset{⇀}{e}}_{a}$ × ${\overset{⇀}{e}}_{b}$ ; ${\overset{⇀}{e}}_{a}$ × ${\overset{⇀}{e}}_{b}$ =Sin[ $θ_{ab}$ ] ${\overset{⇀}{e}}_{c}$ ∴ $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ =| $\overset{⇀}{a}$ || $\overset{⇀}{b}$ |Sin[ $θ_{ab}$ ] ${\overset{⇀}{e}}_{c}$

Podemos assim ver que $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ =| $\overset{⇀}{a}$ || $\overset{⇀}{b}$ |Sin[ $θ_{ab}$ ] ${\overset{⇀}{e}}_{c}$ , onde ${\overset{⇀}{e}}_{c}$ = $\frac{1}{| \overset{⇀}{c} |}$ $\overset{⇀}{c}$ é o versor de $\overset{⇀}{c}$ perpendicular ao plano definido por $\overset{⇀}{a}$ e $\overset{⇀}{b}$ .

Produto Vetorial

Use Shift-Drag para Zoom; Use Left-Drag para rodar; Use Double-Click para Iniciar/Parar Animações quando disponíveis. Pontos (e vectores) selectionáveis mostram um quadrado quando apontados pelo cursor, e podem então ser movidos com Left-Drag.

Uma forma mnemónica de calcular $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ consiste em formar uma matriz simbólica e calcular o seu determinante

$\overset{⇀}{a} \times \overset{⇀}{b} = \det (\begin{matrix} {\overset{⇀}{e}}_{x} & {\overset{⇀}{e}}_{y} & {\overset{⇀}{e}}_{z} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix}) = (a_{y} b_{z} − a_{z} b_{y}) {\overset{⇀}{e}}_{x} + (a_{z} b_{x} − a_{x} b_{z}) {\overset{⇀}{e}}_{y} + (a_{x} b_{y} − a_{y} b_{x}) {\overset{⇀}{e}}_{z}$

Contudo, na maioria dos casos, para calcular algébricamente produtos de vectores arbitrários $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ é mais prático usar as propriedades do produto vectorial conjuntamente com o conhecimento do produto vectorial dos vectores de base ${\overset{⇀}{e}}_{x}$ , ${\overset{⇀}{e}}_{y}$ , ${\overset{⇀}{e}}_{z}$ dois a dois:

${\overset{⇀}{e}}_{x}$ × ${\overset{⇀}{e}}_{y}$ = ${\overset{⇀}{e}}_{z}$ ; ${\overset{⇀}{e}}_{y}$ × ${\overset{⇀}{e}}_{z}$ = ${\overset{⇀}{e}}_{x}$ ; ${\overset{⇀}{e}}_{z}$ × ${\overset{⇀}{e}}_{x}$ = ${\overset{⇀}{e}}_{y}$

Propriedades:

Anti-Simetria: $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ = − $\overset{⇀}{b}$ × $\overset{⇀}{a}$
Linearidade: $\overset{⇀}{a}$ ×(λ $\overset{⇀}{b}$ +μ $\overset{⇀}{c}$ ) = λ $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ +μ $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{c}$
Não-Associativo: $\overset{⇀}{a}$ ×( $\overset{⇀}{b}$ × $\overset{⇀}{c}$ ) ≠ ( $\overset{⇀}{a}$ × $\overset{⇀}{b}$ )× $\overset{⇀}{c}$

Created by Amaro Rica da Silva, Prof. Dep. Física-IST with Mathematica (September 20, 2005)