Produto Escalar $\overrightarrow{a}\mathrm{·}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}\mathrm{·}\overrightarrow{b}\equiv \mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

É possível mostrar que o conceito de distância no espaço cartesiano ${\mathfrak{E}}_3$ permite deduzir a existência de um produto escalar entre vectores de V. Este produto escalar $\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}\in \mathbb{R}$ (ou $\overrightarrow{a}\mathrm{·}\overrightarrow{b}$) pode ser definido da seguinte forma: se identificarmos $\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}\mathrm{⟩}=\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{|}{\mathrm{}}^2,\mathrm{⟨}\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{|}\overrightarrow{b}\mathrm{|}{\mathrm{}}^2$, então

$\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{|}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\mathrm{|}{\mathrm{}}^2-\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{|}{\mathrm{}}^2-\mathrm{|}\overrightarrow{b}\mathrm{|}{\mathrm{}}^2\right)$

Feitas as contas isto dá $\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$, donde se pode concluir que o produto escalar $\mathrm{⟨.,.⟩}$ é uma forma bilinear simétrica não-degenerada real sobre V. De facto

$\begin{array}{l}\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{⟨}\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\mathrm{⟩}\\ \mathrm{⟨}\mathrm{\alpha }\overrightarrow{a}\mathrm{,\; \beta }\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}\\ \mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\mathrm{⟩}=\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}+\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\mathrm{⟩}\\ \mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}\mathrm{⟩\; =\; 0\; SSE\; }\overrightarrow{a}=0\end{array}$

Propriedades:

Simetria:           $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}$
Linearidade:    $\overrightarrow{a}·\mathrm{(}\mathrm{\lambda }\overrightarrow{b}+\; \mu \overrightarrow{c}\mathrm{)}\mathrm{=\; \lambda }\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\; \mu \overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}\equiv \mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{|}\mathrm{|}\overrightarrow{b}\mathrm{|}\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{\mathrm{ab}}\mathrm{)}$

Vamos agora mostrar que a expressão para o produto escalar $\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}$ de dois vectores se pode também escrever $\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩\; =\; |}\overrightarrow{a}\mathrm{||}\overrightarrow{b}\mathrm{|}\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{\mathrm{ab}}\mathrm{)}$ onde ${\text{θ}}_{\mathrm{ab}}$ representa o ângulo entre os vectores $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{b}$. Relembrando que, em termos de cosenos directores,

$\overrightarrow{a}=\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{|}{\overrightarrow{e}}_a=\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{|}\left(\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{ax}\mathrm{)}{\overrightarrow{e}}_x+\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{ay}\mathrm{)}{\overrightarrow{e}}_y+\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{az}\mathrm{)}{\overrightarrow{e}}_z\right)$;

$\overrightarrow{b}=\mathrm{|}\overrightarrow{b}\mathrm{|}{\overrightarrow{e}}_b=\mathrm{|}\overrightarrow{b}\mathrm{|}\left(\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{bx}\mathrm{)}{\overrightarrow{e}}_x+\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{by}\mathrm{)}{\overrightarrow{e}}_y+\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{bz}\mathrm{)}{\overrightarrow{e}}_z\right)$;

$\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩\; =}{a}_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{||}\overrightarrow{b}\mathrm{|}\left(\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{ax}\mathrm{)}\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{bx}\mathrm{)}+\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{ay}\mathrm{)}\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{by}\mathrm{)}+\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{az}\mathrm{)}\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{bz}\mathrm{)}\right)$

Se $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{b}$ pertencessem ao plano ${\mathbb{P}}_1$, então ${\text{θ}}_{\mathrm{az}}={\text{θ}}_{\mathrm{bz}}=\frac{\pi }{2}$ e ${\text{θ}}_{\mathrm{ay}}=\frac{\pi }{2}-{\text{θ}}_{\mathrm{ax}}$ , ${\text{θ}}_{\mathrm{by}}=\frac{\pi }{2}-{\text{θ}}_{\mathrm{bx}}$ donde

e portanto $\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{||}\overrightarrow{b}\mathrm{|}\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{\mathrm{ab}}\mathrm{)}$ neste caso. Acontece que o produto escalar é invariante para transformações ortogonais dos seus argumentos (i.e.rotações) : de facto $\mathrm{⟨}\mathbb{A}\mathrm{·}\overrightarrow{a},\mathbb{A}\mathrm{·}\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},{\mathbb{A}}^T\mathbb{A}\mathrm{·}\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}$ já que ${\mathbb{A}}^T\mathbb{A}=1$ por definição para tais transformações. Assim é sempre possível rodar um par arbitrário $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ para o plano ${\mathbb{P}}_1$sem alterar o seu produto escalar, que deverá então ser sempre $\mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{|\; |}\overrightarrow{b}\mathrm{|}\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{\mathrm{ab}}$). Como corolário deduzimos também que em geral

$\overrightarrow{a}$ · $\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$| |$\overrightarrow{b}$|${\overrightarrow{e}}_a$ · ${\overrightarrow{e}}_b$              ;              ${\overrightarrow{e}}_a\mathrm{·}{\overrightarrow{e}}_b=\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{\mathrm{ab}}\mathrm{)}$

$\text{cos}\left({\text{θ}}_{\mathrm{ab}}\right)=\text{cos}\left({\text{θ}}_{\mathrm{ax}}\right)\text{cos}\left({\text{θ}}_{\mathrm{bx}}\right)+\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{\mathrm{ay}}\mathrm{)}\text{cos}\mathrm{(}{\text{θ}}_{\mathrm{by}}\mathrm{)}+\text{cos}\left({\text{θ}}_{\mathrm{az}}\right)\text{cos}\left({\text{θ}}_{\mathrm{bz}}\right)$

$\overrightarrow{a}\mathrm{·}\overrightarrow{b}\equiv \mathrm{⟨}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{⟩}=\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{|}\mathrm{|}{\overrightarrow{b}}_{\mathrm{||}}\mathrm{|}=\mathrm{|}{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{||}}\mathrm{|}\mathrm{|}\overrightarrow{b}\mathrm{|}$

O produto escalar de dois vectores é proporcional à projecção ortogonal dum deles sobre o outro.  Por exemplo, um vector $\overrightarrow{b}$  pode ser representado como a soma das suas projecções ${\overrightarrow{b}}_{\mathrm{||}}$ na direcção dum vector $\overrightarrow{a}$  e ${\overrightarrow{b}}_{\perp }$numa direcção ortogonal a $\overrightarrow{a}$.

© Amaro Rica da Silva, Prof. Dep. Física-IST with Mathematica  (September 20, 2005)