Momento Angular

Momento Angular relativo a pontos diferentes

O momento angular total ${\overrightarrow{L}}_P$ dum sistema de massas pontuais $m_i$ relativo a um ponto $P$ e o momento angular total ${\overrightarrow{L}}_Q$ do mesmo sistema relativo a outro ponto $Q$ relacionam-se através de

$${\overrightarrow{L}}_P={\overrightarrow{L}}_Q+\left({\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times \overrightarrow{P}$$

onde $\overrightarrow{P}=M{\overrightarrow{V}}_{\mathrm{CM}}$é o momento linear total (ou seja o momento linear do Centro de Massa).

$${\overrightarrow{L}}_P=\sum _i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times {\overrightarrow{p}}_i=\sum _i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_Q\right)\times {\overrightarrow{p}}_i+\sum _i\left({\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times {\overrightarrow{p}}_i={\overrightarrow{L}}_Q+\left({\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times \sum _i{\overrightarrow{p}}_i$$

Se o momento linear total $\overrightarrow{P}=\sum _i$$m_i$${\overrightarrow{v}}_i\equiv \sum _i$${\overrightarrow{p}}_i$  é zero num referencial $\mathrm{ℛ}$, então o momento angular $\overrightarrow{L}\equiv \sum _i{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{p}}_i$ relativo à origem nesse referencial é igual ao momento angular ${\overrightarrow{L}}_P$ calculado em $\mathrm{ℛ}$ relativamente a qualquer outro ponto $P$.

$${\overrightarrow{L}}_P=\sum _i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times {\overrightarrow{p}}_i=\sum _i{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{p}}_i-\sum _i{\overrightarrow{r}}_P\times {\overrightarrow{p}}_i=\overrightarrow{L}\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\times \left(\sum _i{\overrightarrow{p}}_i\right)\equiv \overrightarrow{L}$$

Momento angular Próprio (Spin) e Orbital

Quando $Q\equiv \mathrm{CM}$ e $P$ é a origem, então

$\begin{array}{cccccc}\overrightarrow{L}=& {\overrightarrow{L}}_{\mathrm{CM}}+{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\times \overrightarrow{P}& \equiv & \overrightarrow{S}& +& \overrightarrow{J}\\ & \stackrel{⏟}{\mathrm{Mom}.\mathrm{Ang}.\mathrm{Total}}& & \stackrel{\uparrow }{\mathrm{Spin}}& & \stackrel{\uparrow }{\mathrm{Orbital}}\end{array}$

onde $\overrightarrow{S}={\overrightarrow{L}}_{\mathrm{CM}}$ designa o momento angular próprio (ou de spin), e $\overrightarrow{J}\equiv {\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\times \overrightarrow{P}$ é o momento angular orbital.

O momento angular de spin $\overrightarrow{S}{}^{\prime }$ visto dum referencial móvel ${\mathrm{ℛ}}_{CM}^{\prime }$ que se desloca com o CM e que roda instantâneamente com velocidade angular $\overrightarrow{\Omega }$, relaciona-se com o momento angular de spin $\overrightarrow{S}$ visto do referencial de laboratório ${\mathrm{ℛ}}_o$ através da expressão

$$\overrightarrow{S}{}^{\prime }=\mathbb{M}·\overrightarrow{S}\mathrm{-}{\mathbb{K}}^{\prime }·\overrightarrow{\Omega }{}^{\prime }$$

onde $\mathbb{M}:{\mathrm{ℛ}}_o\mapsto {\mathrm{ℛ}}_{CM}^{\prime }$ é a matriz de rotação que exprime as direcções de referência do laboratório no referencial móvel ${\mathrm{ℛ}}_{CM}^{\prime }$ e

$\mathbb{K}{}^{\prime }·\overrightarrow{\Omega }{}^{\prime }\equiv \sum _i^{}{m}_i{\overrightarrow{r}}_i{}^{\prime }\times \left(\overrightarrow{\Omega }{}^{\prime }\times {\overrightarrow{r}}_i{}^{\prime }\right)$

Aqui, a transformação linear sobre o vector $\overrightarrow{\Omega }{}^{\prime }=\mathbb{M}·\overrightarrow{\Omega }$, onde $\overrightarrow{\Omega }$ é a velocidade angular de rotação do referencial ${\mathrm{ℛ}}_{\mathrm{CM}}^{\prime }$ ligado ao CM, permite definir o Tensor de Inércia ${\mathbb{K}}^{\prime }$ relativamente aos três eixos do referencial ${\mathrm{ℛ}}_{\mathrm{CM}}^{\prime }$ através de

$${\mathbb{K}}^{\prime }·\overrightarrow{\Omega }{}^{\prime }\equiv \sum _i{m}_i{\mid {\overrightarrow{r}}_i\mid }^2\overrightarrow{\Omega }{}^{\prime }-\sum _i{m}_i(\overrightarrow{\Omega }{}^{\prime }·{\overrightarrow{r}}_i{}^{\prime }){\overrightarrow{r}}_i{}^{\prime }$$

$$\overrightarrow{S}{}^{\prime }=\sum _i{\overrightarrow{r}}_i{}^{\prime }\times {\overrightarrow{p}}_i{}^{\prime }=\mathbb{M}·\left(\sum _i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\right)\times m_i({\overrightarrow{v}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{V}}_{\mathrm{CM}}\mathrm{-}\overrightarrow{\Omega }\times \left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\right))\right)=\mathbb{M}·\left(\overrightarrow{S}\mathrm{-}\left(\sum _i{m}_i{\overrightarrow{r}}_i\right)\times {\overrightarrow{V}}_{\mathrm{CM}}+M{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\times {\overrightarrow{V}}_{\mathrm{CM}}\mathrm{-}\sum _i{m}_i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\right)\times \left(\overrightarrow{\Omega }\times \left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\right)\right)\right)=\mathbb{M}·\left(\overrightarrow{S}\mathrm{-}{\mathbb{K}}_{\mathrm{CM}}·\overrightarrow{\Omega }\right)$$

porque $\sum _i{m}_i{\overrightarrow{r}}_i=M{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}$, e onde introduzimos o tensor de inércia ${\mathbb{K}}_{CM}$ do sistema relativamente aos três eixos que passam pelo CM, paralelamente às direcções de referência de ${\mathrm{ℛ}}_o$.

$${\mathbb{K}}_{CM}·\overrightarrow{\Omega }=\sum _i{m}_i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\right)\times \left(\overrightarrow{\Omega }\times \left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\right)\right)=\sum _i{m}_i{\mid {\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\mid }^2\overrightarrow{\Omega }\mathrm{-}\sum _i{m}_i\left(\overrightarrow{\Omega }·\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\right)\right)\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\right)$$

• Note que ${\mathbb{K}}_{}^{\prime }=\mathbb{M}·{\mathbb{K}}_{CM}·{\mathbb{M}}^T$, portanto ${\mathbb{K}}^{\prime }·\overrightarrow{\Omega }{}^{\prime }=\mathbb{M}·{\mathbb{K}}_{CM}·{\mathbb{M}}^T·\mathbb{M}·\overrightarrow{\Omega }=\mathbb{M}·\left({\mathbb{K}}_{CM}·\overrightarrow{\Omega }\right).$

• Note ainda que, se $\overrightarrow{\Omega }=0$, (i.e. as direcções de referência de ${\mathcal{S}}^{\prime }$ não rodam) $\overrightarrow{S}{}^{\prime }=\mathbb{M}·\overrightarrow{S}=\mathbb{M}·(\overrightarrow{L}-{\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\times \overrightarrow{P})$.

• Se além disso os eixos de ${\mathrm{ℛ}}_o$ e ${\mathrm{ℛ}}_{CM}^{\prime }$ forem paralelos, $\mathbb{M}=\mathbb{1}$ e $\overrightarrow{S}{}^{\prime }=\overrightarrow{S}$.

Momento angular do Corpo Rígido

Quando visto dum referencial móvel ${\mathrm{ℛ}}_c^{\prime }$ que está fixo no corpo e roda com ele, $\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{\omega }$, então $\overrightarrow{S}{}^{\prime }\equiv 0$ (porque todos os pontos estão parados nesse referencial) e pode-se deduzir que, para um corpo rígido:

$$\overrightarrow{S}={\mathbb{K}}_{CM}·\overrightarrow{\omega }$$

Variação do Momento Angular para Forças Centrais

Lei forte de Acção-Reacção: todas as forças de interação internas ${\overrightarrow{F}}_{ij}=\mathrm{-}{\overrightarrow{F}}_{ji}$ são centrais, i.e. $({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_j)\times {\overrightarrow{F}}_{ij}=0$

Se todas as forças de interacção internas ${\overrightarrow{F}}_{ij}$ forem centrais, então o momento angular total ${\overrightarrow{L}}_P$ relativo a um ponto fixo $P$ não pode variar senão devido à acção de momentos de força externas.

$$\frac{d{\overrightarrow{L}}_P}{dt}={\overrightarrow{ℳ}}_P^{\mathrm{ext}}$$

$$\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{L}}_P}{dt}={\displaystyle \sum _i}\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\mathrm{\times }\frac{d{\overrightarrow{p}}_i}{dt}={\displaystyle \sum _i}\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times \left({\overrightarrow{F}}_i^{\mathrm{ext}}+{\overrightarrow{F}}_i^{\mathrm{int}}\right)={\overrightarrow{ℳ}}_P^{\mathrm{ext}}+{\overrightarrow{ℳ}}_P^{\mathrm{int}}={\overrightarrow{ℳ}}_P^{\mathrm{ext}}+{\overrightarrow{ℳ}}_{\mathcal{O}}^{\mathrm{int}}\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\times {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}$$

Os dois termos ${\overrightarrow{\mathrm{ℳ}}}_{\mathcal{O}}^{\mathrm{int}}$ e ${\overrightarrow{r}}_P\times {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}$são zero porque as forças de interacção são da forma ${\overrightarrow{F}}_{ij}=f_{ij}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_i,{\overrightarrow{r}}_j\mathrm{)}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j\mathrm{)}$, onde $f_{ij}$(${\overrightarrow{r}}_i$,${\overrightarrow{r}}_j$)=$f_{ji}$(${\overrightarrow{r}}_j$,${\overrightarrow{r}}_i$) é uma função escalar. Daí que se tenha sempre

$${\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_{ij}=\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_j\times {\overrightarrow{F}}_{ji}$$

$${\overrightarrow{ℳ}}_{\mathcal{O}}^{\mathrm{int}}=\sum _i{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i^{\mathrm{int}}=\sum _i\sum _j^{\left(j\ne i\right)}{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_{ij}=\mathrm{-}\sum _j\sum _i^{\left(i\ne j\right)}{\overrightarrow{r}}_j\times {\overrightarrow{F}}_{ji}=\mathrm{-}\sum _j{\overrightarrow{r}}_j\times {\overrightarrow{F}}_j^{\mathrm{int}}=\mathrm{-}{\overrightarrow{ℳ}}_{\mathcal{O}}^{\mathrm{int}}\Rightarrow {\overrightarrow{ℳ}}_{\mathcal{O}}^{\mathrm{int}}=0$$

$${\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i^{\mathrm{int}}=\sum _i\sum _j^{\left(j\ne i\right)}{\overrightarrow{F}}_{ij}\equiv \sum _j\sum _i^{\left(i\ne j\right)}{\overrightarrow{F}}_{ij}=\mathrm{-}\sum _j{\overrightarrow{F}}_j^{\mathrm{int}}=\mathrm{-}{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}\Rightarrow {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}=0$$

Se, além disso, todas as forças externas forem centrais, i.e. ${\overrightarrow{F}}_i^{\mathrm{ext}}=f_i\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_i\mathrm{)}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\mathrm{)}$, onde $P$ é o centro de atracção fixo, ${\overrightarrow{v}}_P=0$, então o momento angular total ${\overrightarrow{L}}_P$ relativo a $P$ conserva-se:

$${\overrightarrow{ℳ}}_P^{\mathrm{ext}}=\sum _i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times {\overrightarrow{F}}_i^{\mathrm{ext}}=\sum _i{f}_i\left({\overrightarrow{r}}_i\right)\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times \left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)=0$$

$$\frac{d{\overrightarrow{L}}_P}{dt}=0$$

A variação do momento angular total ${\overrightarrow{L}}_P$ relativo a um ponto móvel $P$ é

$$\frac{d{\overrightarrow{L}}_P}{dt}=\sum _i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times \frac{d{\overrightarrow{p}}_i}{dt}\mathrm{-}{\overrightarrow{v}}_P\times \sum _i{\overrightarrow{p}}_i.$$

$$\frac{d{\overrightarrow{L}}_P}{dt}={\overrightarrow{\mathrm{ℳ}}}_P^{\mathrm{ext}}\mathrm{-}M{\overrightarrow{v}}_P\times {\overrightarrow{V}}_{\mathrm{CM}}.$$

Conclui-se portanto que, quando $P$ é o $\mathrm{CM}$, o segundo termo anula-se sempre e podemos escrever ainda, uma vez que ${\overrightarrow{J}}_{\mathrm{CM}}=\; 0$,

$$\frac{d{\overrightarrow{S}}_{\mathrm{CM}}}{dt}={\overrightarrow{ℳ}}_{\mathrm{CM}}^{\mathrm{ext}}$$

Se apenas actuam forças externas ${\overrightarrow{F}}_i=m_i$$\overrightarrow{g}$, então

$${\overrightarrow{ℳ}}_P^{\mathrm{ext}}=\sum _i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times {\overrightarrow{F}}_i^{\mathrm{ext}}=\sum _i{m}_i\left({\overrightarrow{r}}_i\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times \overrightarrow{g}=\left({\overrightarrow{R}}_{\mathrm{CM}}\mathrm{-}{\overrightarrow{r}}_P\right)\times M\overrightarrow{g}$$

Se $P\equiv CM$, ${\overrightarrow{ℳ}}_{\mathrm{CM}}^{\mathrm{ext}}=0$ e o momento angular de spin ${\overrightarrow{S}}_{\mathrm{CM}}$ dum corpo em queda livre mantém-se constante.

© Amaro Rica da Silva, Prof. Dep. Física-IST with Mathematica  (September 20, 2005)