Álgebra e Vectores

Vectores, versores e cosenos directores

Num modelo cartesiano, cada ponto $\mathcal{P}$ do espaço físico pode ser descrito por três números reais $\{x,y,z\}$ a partir do momento que se escolheu um ponto origem $\mathcal{O}$ e três planos ortogonais de referência ${\mathbb{P}}_1,{\mathbb{P}}_2,{\mathbb{P}}_3$ passando por $\mathcal{O}$: os números $x,y,z$ representam então as distâncias de $\mathcal{P}$ aos planos mútuamente ortogonais ${\mathbb{P}}_1,{\mathbb{P}}_2,{\mathbb{P}}_3$. No modelo cartesiano o teorema de Pitágoras é válido e o quadrado da diagonal de um rectângulo é igual à soma dos quadrados dos seus lados, e o mesmo se passa com um paralelipípedo recto, pelo que a distância de $\mathcal{P}$ à origem $\mathcal{O}$ é $|\mathcal{O}\mathcal{P}|\; =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

A cada par de pontos $\mathcal{P},\mathcal{Q}$ podemos associar um vector ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{PQ}}$ pertencente a um espaço vectorial V, de forma que o espaço cartesiano seja um espaço afim ${\mathfrak{E}}_3$ onde $\mathcal{Q}=\mathcal{P}+{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{PQ}}$ e, para qualquer $\overrightarrow{a}\in$V e $\mathcal{P}\in {\mathfrak{E}}_3$, se tenha $\mathcal{P}+\overrightarrow{a}\in {\mathfrak{E}}_3$.

Uma vez escolhido o sistema de referência ${\mathcal{S}}_o=\{\mathcal{O},{\mathbb{P}}_1,{\mathbb{P}}_2,{\mathbb{P}}_3\}$, podemos definir as direcções ortogonais aos planos de referência como uma base de vectores $\{{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z\}$ de V. Cada vector $\overrightarrow{r}$ de V pode agora ser associado a um ponto $\mathcal{P}\equiv \{x,y,z\}\in {\mathfrak{E}}_3$ por forma que $\mathcal{P}=\mathcal{O}+\overrightarrow{r}$, escrevendo-se então $\overrightarrow{r}=x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y+z{\overrightarrow{e}}_z$ (daí o isomorfismo de V com ${\mathbb{R}}^3$ como espaço vectorial). Conversamente,  cada par de pontos $\mathcal{P}=\{x,y,z\},{\mathcal{P}}^{\prime }=\{x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\}$ define um vector ${\overrightarrow{a}}_{{\mathrm{PP}}^{\prime }}=a_x{\overrightarrow{e}}_x+a_y{\overrightarrow{e}}_y+a_z{\overrightarrow{e}}_z=(x^{\prime }-x){\overrightarrow{e}}_x+(y^{\prime }-y){\overrightarrow{e}}_y+(z^{\prime }-z){\overrightarrow{e}}_z$, que por sua vez está também associado ao ponto ${\mathcal{P}}^{″}=\mathcal{O}+{\overrightarrow{a}}_{{\mathrm{PP}}^{\prime }}=\{x^{\prime }-x,y^{\prime }-y,z^{\prime }-z\}$, mas existe uma infinidade de outros pares de pontos $\mathcal{Q}=\{x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma \},{\mathcal{Q}}^{\prime }=x^{\prime }+\alpha ,y^{\prime }+\beta ,z^{\prime }+\gamma \}$ que definem o mesmo vector ${\overrightarrow{a}}_{{\mathrm{PP}}^{\prime }}={\overrightarrow{a}}_{{\mathrm{QQ}}^{\prime }}$.

A magnitude, módulo ou norma $|\overrightarrow{a}|$ de um vector $\overrightarrow{a}\in$V fica definida como a distância de $\mathcal{P}=\mathcal{O}+\overrightarrow{a}$  à origem $\mathcal{O}$. Assim, se escrevermos $\overrightarrow{a}=a_x{\overrightarrow{e}}_x+a_y{\overrightarrow{e}}_y+a_z{\overrightarrow{e}}_z$, teremos $|\overrightarrow{a}|\; =\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$.

O versor de $\overrightarrow{a}$ é o vector de magnitude (ou módulo)  unidade, $|{\overrightarrow{e}}_a|\; =\; 1$, paralelo a $\overrightarrow{a}$ (mesma direcção e sentido) e portanto $|\overrightarrow{a}|$ ${\overrightarrow{e}}_a=\overrightarrow{a}$.

${\overrightarrow{e}}_a\equiv \frac{1}{\mathrm{|}\overrightarrow{a}\mathrm{|}}\overrightarrow{a}=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}{\overrightarrow{e}}_z$

Os cosenos directores de $\overrightarrow{a}$ são as componentes do versor ${\overrightarrow{e}}_a$ de $\overrightarrow{a}$.

${\overrightarrow{e}}_a=\cos \left({\theta }_x\right){\overrightarrow{e}}_x+\cos \left({\theta }_y\right){\overrightarrow{e}}_y+\cos \left({\theta }_z\right){\overrightarrow{e}}_z\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}\cos \left({\theta }_x\right)=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}& ;& \sin \left({\theta }_x\right)=\frac{\sqrt{a_y^2+a_z^2}}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}\\ \cos \left({\theta }_y\right)=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}& ;& \sin \left({\theta }_y\right)=\frac{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}\\ \cos \left({\theta }_z\right)=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}& ;& \sin \left({\theta }_z\right)=\frac{\sqrt{a_x^2+a_y^2}}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}\end{array}$

Soma de vectores e produto dum vector por um número λ

A soma de vectores é comutativa, i.e. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$, o que significa que o trajecto $\mathcal{O}\to \mathcal{P}=\mathcal{O}+\overrightarrow{a}\to \mathcal{Q}=\mathcal{P}+\overrightarrow{b}$ termina no mesmo ponto que o trajecto $\mathcal{O}\to {\mathcal{P}}^{\prime }=\mathcal{O}+\overrightarrow{b}\to {\mathcal{Q}}^{\prime }={\mathcal{P}}^{\prime }+\overrightarrow{a}$, portanto ${\mathcal{Q}}^{\prime }=\mathcal{Q}$.
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\; (a_x+b_x){\overrightarrow{e}}_x+\; (a_y+b_y){\overrightarrow{e}}_y+\; (a_z+b_z){\overrightarrow{e}}_z$

$\lambda \overrightarrow{a}\equiv \; \lambda \; |\overrightarrow{a}|{\overrightarrow{e}}_a=\; \lambda a_x{\overrightarrow{e}}_x+\; \lambda a_y{\overrightarrow{e}}_y+\; \lambda a_z{\overrightarrow{e}}_z$       ∴               $|\lambda \overrightarrow{a}|\; =\; |\lambda ||\overrightarrow{a}|$

© Amaro Rica da Silva, Prof. Dep. Física-IST with Mathematica  (September 20, 2005)