Referencial Móvel de Frenet-Serret

A curva $\stackrel{\rightharpoonup }{r}(\lambda )$ parametrizada por $\lambda$ tem um Versor Tangente $\stackrel{\rightharpoonup }{t}(\lambda )$ com a direção de ${\displaystyle \frac{d\stackrel{\rightharpoonup }{r}(\lambda )}{d\lambda }}$.
Perpendicularmente a $\stackrel{\rightharpoonup }{t}(\lambda )$, o vector ${\displaystyle \frac{d\stackrel{\rightharpoonup }{t}(\lambda )}{d\lambda }}$ é paralelo ao vector de curvatura $\stackrel{\rightharpoonup }{k}(\lambda )$ que define a direção da curvatura local.

(Quando $d\lambda$ é o comprimento de arco $ds$, a magnitude $k$ é a curvatura e o seu inverso $\rho$ o raio de curvatura.)

O versor $\stackrel{\rightharpoonup }{n}(\lambda )=\; \rho \stackrel{\rightharpoonup }{k}(\lambda )$ designa-se Versor Normal.

O plano definido por $\stackrel{\rightharpoonup }{n}(\lambda )$ e $\stackrel{\rightharpoonup }{t}(\lambda )$ designa-se Plano Osculador (representado pelo rectângulo vermelho) ao qual a curva é localmente tangente.

O Versor Binormal $\stackrel{\rightharpoonup }{b}(\lambda )=\stackrel{\rightharpoonup }{t}(\lambda )\times \stackrel{\rightharpoonup }{n}(\lambda )$ é perpendicular ao Plano Osculador em cada ponto.

Os três vectores $\stackrel{\rightharpoonup }{t},\stackrel{\rightharpoonup }{n},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ formam o referencial ortonormado de Frenet-Serret.


As formulas de Frenet-Serret aplicam-se quando $\mathrm{d\lambda \; =\; d}s$ é o comprimento de arco.

$\{\begin{array}{ll}\frac{d\stackrel{\rightharpoonup }{t}\mathrm{(}s\mathrm{)}}{ds}=k\stackrel{\rightharpoonup }{n}& \mathrm{onde}k\mathrm{ é}a\mathrm{curvatura}\mathrm{local}.\\ \frac{d\stackrel{\rightharpoonup }{b}\mathrm{(}s\mathrm{)}}{ds}=-\tau \stackrel{\rightharpoonup }{n}& \mathrm{onde}\tau \mathrm{é }a\mathrm{torsão}\mathrm{local}\\ \frac{d\stackrel{\rightharpoonup }{n}\mathrm{(}s\mathrm{)}}{ds}=-k\stackrel{\rightharpoonup }{t}+\tau \stackrel{\rightharpoonup }{b}& \end{array}$

Created by Amaro Rica da Silva, Prof. Dep. Física-IST with Mathematica  (September 20, 2005)